​平均数的认识

平均数的认识

一．概念描述

现代数学：平均数分为算术平均数、加权平均数、几何平均数、调和平均数、指数平均数和平方平均数等。在小学数学中常用的平均数主要是算术平均数和加权平均数，它们都是统计学的基本概念，因常用于计算样本的集中趋势，所以也分别叫作样本算术平均数（值）和样本加权算术平均数（值）。

小学数学：小学数学教材中没有明确给出平均数的定义，主要通过“总数除以总份数所得的结果就是平均数”进行过程性定义，重点在于让学生掌握计算平均数的方法，并能结合实际问题进行分析，感受平均数的价值。

二．概念解读

(1)平均数与中位数和众数

平均数在数据分析的过程中发挥着重要的作用，与中位数和众数有着密切的联系。在日常学习和生活中处理的数据大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布，这时平均数、中位数和众数是一样的。如果数据偏态分布， 三者才会有所区别。

平均数易受极端数据的影响，但是与中位数和众数相比，平均数能更多地利用所有数据的信息。另外，还有一个原因：假设x和y的平均数为a，利用中学的知识可以证明a是与x，y这两个数据差的平方和达到最小的实数，即对任意的实数有（x-a）2+（y-a）2≤（y-b）2(a≠b)。这说明平均数使平方和达到最小，也就是说用平均数代表数据，可以使二次损损失最小。而利用中位数和众数，可以使一次损失（误差绝对值的和）最小。

(2)算术平均数与加权平均数

过去小学数学把算术平均数叫作“简单平均数”，把加权平均数叫作“较复杂的平均数”。在小学阶段，权重主要指数据出现的频率。如果一组数据中每个数据都只出现一次，也就是每个数据的重要性相同，则计算的结果为算术平均数。所谓加权平均数，是指各个数据的“分

量”不同，有的重要些，有的轻些，将它们的重要性用权重表示，即一组数据中每个数据出现的次数不止一次，则计算出的平均数就是加权平均数。例如：

①每千克奶糖15元，每千克水果糖10元，每千克巧克力糖20元，三种糖各1千克混合在一起，平均每千克多少元钱？

(15+10+20)÷3=15（元）

由于每种糖都是1千克，所以只需要简单求和然后除以总质量，所得结果就是算术平均数。

②每千克奶糖15元，每千克水果糖10元，每千克巧克力糖20元，将2千克奶糖，3千克水果糖和5千克巧克力糖混合在一起，平均每千克多少元钱？

(15x2+10x3+20x5)÷(2+3+5)=16（元）

由于每种糖所占的比重不相同，在计算平均数时就要加以考虑，所以按这种方法计算的结果就是加权平均数。

三．教学建议

平均数是小学数学中的教学内容，新课程改革明确“平均数”不再是单纯的应用题的类型之一，而是“作为一种统计量”。因此，在传统教学强例平均数计算意义的基础上，教师应进一步突出概念意义和统计意义。

(1)经历所平均数产生的过程，感受平均数的作用

平均数作为一种重要的统计量，如何让学生体会到它在统计中的作用呢？吴正宪老师在执教“平均数”一课时，巧妙地运用拍球比赛这一学生喜闻乐见的游戏形式，调动了游戏规则的生活经验，学生一个“不公平！”，否定了人数不同比拍球总个数定输赢的方法。“这可怎么办呢？”随着吴老师的追问，一个胖胖的小男孩站起来伸开双臂，结结巴巴地说：“把这儿个数匀乎匀乎，看看得几，就能比较出来了。”吴老师对这个小男孩儿赞赏不已。是呀， 一个“匀乎匀乎”就使平均数应运而生了。

(2)通过具体数据分析，加深对平均数概念意义的理解

平均数本身是不能孤立存在的，因此要加强原始数据和平均数的沟通，通过建立联系让学生感受平均数的特点，加深对概念意义的理解。下面这个经典案例同样出现在吴正宪老师的课堂上：

“前三次小红和小亮分别平均每人打儿环？可以怎么算呢？”（如下表）很多学生用打中总环数除以射击次数，有个别学生想出了移多补少的方法。吴老师评价：“这样的方法真好，一下子就让我们看到了平均数真的能代表这些数据的水平！”吴老师继续提问：“小红第4枪打了7环，小强第4枪打10环，打了第4枪后，会不会影响前三次的平均数？”经过一系列的思考，学生感受到加入一个数据以后，会对原平均数产生影响，感受到平均数和一组数据中每个数据有关的特点。

(3)结合具具体问题情境，客观理解平均数的统计意义

统计和生活紧密相关，在利用平均数分析问题时要和生活紧密联系，以凸显平均数的统计意义。王杰老师在执教“平均数”一课时，设计了这样一个问题：周一至周五高峰时，平均每小时通过1号桥的车辆为1756辆，通过2号桥的车辆为965辆（两个桥的跨度等条件差不多），那么驾车走哪条路会比较通畅？为什么？学生对此意见不同，展开争论。最后王老师总结：平均数可以作为参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。在这个过程中，学生既可以体会到平均数的意义，又可以体会到数据的随机性。

四．推荐阅读

(1)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书第220-222页论述了加权平均数的作用和价值，以及与算术平均数的联系和区别。

(2)《吴正宪的儿童数学教育》（周玉仁、杨文荣，北京师范大学出版社，2010）

该书中的一些案例生动、具体，本词条引用的案例主要来自该书。

(3)《回归平均数的统计意义》（曹培英，《小学数学教师》，2011年第7-8期）

该文从平均数历史回顾、练习的审视、新设计关注点等几个角度详细进行了介绍，对广大一线教师有一定的指导意义。