​计算机的二进制算法（从计算机体系结构分析）

计算机的二进制算法（从计算机体系结构分析）

我们经常在各类关于计算机的资料中，看到计算机只认识0和1的字样。这里的0和1其实反映了计算机的另一个特性——二进制。

迄今为止，计算机已经有70多年的历史，从最开始的电子管进化到现在的大规模集成电路，从硬件到操作系统都发生了翻天地覆的变化，但在进制问题上却一直沿用了二进制，那么，二进制到底有什么样的魅力呢？它真的是无可替代的吗？

计算机为什么不能采用十进制？

1946年，第一台真正意义上的电子计算机ENIAC在美国宾夕法尼亚大学诞生，那时候的计算机比较简陋，也没有操作系统这个概念，整个机器就是由各种门电路板组成的庞然大物，不同的电路板执行不同的程序。而且在当时的计算机中，程序和数据是完全分离的两个概念，数据放在存储器中，而程序作为控制器的一部分，这样的计算机计算效率低，灵活性较差，计算机的运行必须依靠手工去操作、由人来负责硬件的运行，每运行一个不同的程序，就得改动硬件。就像下图所示，几位摩登女郎穿着漂亮的小裙子，进行着各种插线拔线的操作，以便缓解程序工作者们焦虑的心情。所以说人们一开始对计算机的操作，都是基于硬件的，非常的费时费力。

而且此时的计算机还存在其他问题，由于早期的设计者们习惯使然，依旧采用了人类的思维方式，前文提到的第一台电子计算机ENIAC采用的就是十进制。看起来是很方便，但这种设计的弊病很快便体现了出来：十进制在计算机中如何表示成了大麻烦，计算机做的都是位运算，那该怎么用电路来模拟这十种状态呢？于是人们用电压来控制数字，每隔0.5v就代表一个数字，比方说0.5v代表1,1.0v代表2，但由于当时的机能所限，真空电子管的精度堪忧，这就导致得出的结果往往不准确；最后设计者们也没办法了，干脆用十根电子管代替0-9，这种简单粗暴的方式使让接线变得异常复杂，还造成了严重的硬件浪费，计算机的体积也是相当庞大。

那么，这些问题又是如何解决的呢？

巨人肩膀上的巨人：冯诺依曼

1936年，年仅22岁，数字通信的祖师爷、《信息论》创作者香农基于英国数学家乔治·布尔的关于逻辑数运算的成果，发表了著名的硕士论文《继电器与开关电路的符号分析》，首次将电路和数学联系起来，计算机史上最伟大的发明——继电器由此诞生。

在同一年，另一位人类巨匠，“AI之父”图灵也发表了一篇影响深远的文章——《论可计算数及其在判定问题上的应用》，图灵以数学的角度出发，从根本上定义了可计算数在二进制及有限指令及状态跳转下的成立。

随后，现代计算机之父，“天才中的天才”冯诺依曼也站了出来，他吸取了香农，图灵研究的精髓，将计算机科学引入了一个新的高度。

冯诺依曼认为，ENIAC十进制的设计很糟糕，无论是从数学还是物理的角度来看都很别扭，他将高低电平用数字1和0表示，大大降低了模拟电路的实现难度和机器的复杂程度。同时冯诺依曼还将计算机细化为控制，存储，计算，输入输出五个部分，即著名的“冯诺依曼结构”。

冯.诺依曼结构最了不起的创举在于，在该种结构下，不管是程序和数据，通通放在存储器中，这样计算机就可以直接调用存储器中的程序来处理数据了。因为控制器是硬件，数据和程序都是软件，这种设计将软硬件彻底分开，人们再也不用通过硬件来操作软件了，自此人类实现了可编程的计算机。

可以说正是冯诺依曼的存在，才有了程序员这个职业。

现如今计算机可谓脱胎换骨，处理器的设计也远远超越了冯诺依曼那个年代的水平，简单的冯诺依曼结构和非冯结构也不太适合形容现在的CPU了，但几乎所有的计算机，都无法脱离“存储控制原理 二进制”的设计思路。

历史上，真的有三进制的计算机吗？

相信有不少对计算机感兴趣的朋友都看过这条消息——苏联曾经设计过三进制的计算机。

这个消息是准确的，在二十世纪六十年代，苏联确实搞过这么一款计算机，名叫“Сетунь”，由苏联科学院院士С·Л·Соболев带领着几名研究员共同研发而成。这是人类历史上首台基于三进制的计算机，而且在1960年的时候就投入了市场，反响很不错。

当时的计算机已经发展到第二代，苏联科学家采用了速度更快，可靠性更好的铁氧体磁芯和二极管，然后以此设计出了全新的一种可控电流变压器。由于电压存在着三种状态：正电压（“1”）、零电压（“0”）和负电压（“-1”），三进制恰好和这三种状态对应，从物理层面来讲，三进制比二进制要先进的多。

但很可惜的是，当时苏联在和美国打冷战，搞军备竞赛，没工夫去理会С·Л·Соболев等人，而且苏联当局对于“Сетунь”的态度也相当敌视，觉得它是“XX主义的丑恶尾巴”，所以虽然项目组收到了来自世界各国源源不断的订单，但他们早就穷的连原料都买不起了。最后迫于无奈，С·Л·Соболев放弃了项目组的心血，关闭了工厂，三进制计算机的传奇也就此落幕。

所以说一项新兴技术的命运，和所在的环境还是有很大关系的，如果这些人在美国，估计又会掀起一场全新的技术革命了。

虽然“Сетунь”的结局是失败的，但它说明了一个非常重要的问题：过去是因为技能限制，所以只能选择二进制的设计。那么伴随着工艺水平的不断提高，计算机可否采用其他更为合理，更快捷的进制呢？

计算机最完美的进制：e进制

按照当下的工艺水平，不论是基于四进制的计算机，还是十进制的计算机，完全可以生产出来，如今电元件都很精确，一块硅板上能集成几十亿根电路，我多划分几个电压，用来表示不同的数字，一点问题都没有。并且从苏联“Сетунь”项目里，我们也能看出，二进制其实并不是最好的选择，它也有缺陷，数位太高，可读性差，非常繁琐。所以说现代计算机都采用二进制，更多的是一种出于成本，以及习惯上的惯性使然。

但实际上，三进制也不是最好的选择，真正最符合计算机逻辑的，其实是另一种鲜为人知的进制——e进制。

自然对数e在数学界的地位非比寻常，是人类研究自然科学的重要依仗，并与0,1，圆周率π，虚数i一齐构成了人类史上最伟大的数学公式之一：欧拉公式。后人将其称为“上帝创造的公式”。

那么，e又是怎么和计算机扯上联系的呢？

在不加任何前提条件的情况下，一个二进制下的2bit所占用的存储空间肯定都会比二进制下4bit的存储要小，相应的2bit数据所能展现的内容也要比4bit少。假如我们放开条件，不再拘泥二进制，那我们能不能用更少的bit来表现更多的信息呢？

这个问题等同于：在不考虑物理实现的情况下，从纯数学角度来讲，能不能将n位数的产出变得最大化？

这里便涉及到了另一个很常见的问题——“成本-效率”。

先说成本，假设有n位数，采用r进制表示，每一位都可以表示r种状态，这里需要注意，由于数在不同位上的权不同，所以r进制下数的状态共计有r·n个，而不是r个！举个例子，二进制下的3位数001，可以组成001，010，……100共计2x3=6种状态。

再来看效率的概念：假设现在有两个进制，r1和r2，他们都用来表示m个数，呈现状态用s来表示，如果s1<s2，就说明它占用的状态更少，表现的内容更多，r1的效率是高于r2的。举个简单的例子，数字10，在十六进制，八进制和二进制分别为A，12和1010。不难看出，十六进制的效率是最高的，它用一个bit就能体现二进制下4bit才能表达的信息。

所以我们可以据此得到一个数学关系式，即为了表示m个数，当r为多少时，s可以取得最小值？

下面就是纯粹的数学计算了：

m=r^n（1）；

s=r·n （2）;

（1）式两边同时取自然对数e，由于m是常数，解出n=lnr/lnm，再将n代入（2）式，得到一个关于f：r->s的映射，用函数表示则为，

s=r·（lnr/lnm）（3）;

再对（3）式两边r求导，

ds/dr=[（lnr-1）/ln^2r]lnm ;

令m=0，r≈2.71828……，此时s最小，值为e·lnm

其实这就是个高数中的求导问题当r，也就是进制为e时，效率是最高的，如果我们将m无限扩大，分别取10^2,10^3,……,10^10时，从图像中也能看出，曲线的最小值就在e趋近于2.7时达到最小。

所以说三进制优于二进制，在数学层面也是能得到支持的，因为e更接近3，那为什么不采用e进制呢？因为在物理上无法实现，e是一个无限不循环小数，人类不可能用电元件去模拟出这样一个电路出来，所以e进制只能是理论上的一个存在了。

计算机作为一个集人类智慧大成的产物，其中所蕴含的知识是无法用语言去形容的，一个看上去简单的进制问题，其实是涵盖了计算机体系结构，物理，数学和逻辑多方面因素所影响的最终选择，它凝聚了众多先驱人物的心血和才华，也印证了达芬奇的那句名言——“简单是复杂的终极！”

本文由头条作者爱思考的奥特曼原创作品，未经允许禁止转载。

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